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UE 2 - Instabilités et auto-organisation

Mise à jour : 8 octobre 2014

Responsable : Alain Pocheau
Lieu : IRPHE, Salle de cours (1.34)
Objectif : Ce cours vise à donner des bases et des méthodes générales d’étude de systèmes non-linéaires spatiaux-temporels.


Objectifs

Ce cours vise à donner des bases et des méthodes générales d’étude de systèmes non-linéaires spatiaux-temporels. Partant d’une étude détaillée d’une instabilité absolue puis du concept de bifurcation, l’analyse multi-échelle est appliquée pour déduire une dynamique d’enveloppe, puis les instabilités secondaires et les sélections de modes ou de vitesse qu’elle engendre. L’aspect temporel est abordé sous l’angle des cycles limites induits par des oscillateurs ou des milieux excitables. Les régimes fortement non-linéaires sont considérés par l’exemple des systèmes dissipatifs avec comme guide le modèle de Lorenz.

Contenu

-  Instabilités

  • Problématique et Méthodes
    • Rupture de l’état stationnaire, Linéarisation, Opérateur d’évolution, Réduction de Jordan, Modes propres/modes séculaires, Résonnance
  • Instabilité thermoconvective
    • Modélisation, Mécanisme d’instabilité et seuil, Etude de stabilité linéaire

-  Bifurcations

  • Variété centrale
    • Modes centraux/modes esclaves, Réduction à la variété centrale
  • Formes normales
    • Elimination des non-linéarités non-résonnantes, Exemples
  • Bifurcations
    • Co-dimension 1, Types de bifurcation

-  Oscillateurs non-linéaires

  • Oscillateur de Van der Pol
    • Cycle limite, Méthode de double échelle
  • Oscillateur de Duffing
    • Propriétés, Méthode de double échelle

-  Structures spatiotemporelles

  • Analyse multi-échelle
    • Enveloppe et amplitude complexe, Développement multi-échelle et dynamique d’enveloppe, Application
  • Symétrie et dynamique
    • Equation d’amplitude, Equation à 2d
  • Dynamique de phase ; Instabilités de phase
    • Dynamique de phase, Instabilités de phase (Eckhaus, Zig-zag, modes amplitude-phase, modes satellites)
  • Dynamique variationnelle
    • Dérivée de Fréchet-Potentiel, Stabilité/Métastabilité/ Instabilité

-  Mécanismes de sélection

  • Sélection de nombre d’onde
    • Conditions de bord, Courbure, Dislocation
  • Vitesse de front
    • KPP

-  Systèmes dissipatifs : ordre et chaos

  • Mécanismes de la dynamique
    • Attraction, étirement, repliement
    • Sensibilité aux conditions initiales : origine, dynamique symbolique
  • Attracteur étrange
    • Nature, structure, dimension, exposants de Liapunov
  • Route vers le chaos
    • Modèle de Lorenz : dérivation, bifurcations, route

Enseignant

A. Pocheau


Cette UE appartient à la spécialité
M2 - S1 - Mécanique des fluides et physique non-linéaire